РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2314 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 6

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Разные задачи

Угол BSC правильной треугольной пирамиды SABC равен $2 арктангенс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите значение выражения $дробь: числитель: 21 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби ,$ где $бета$   — угол между боковым ребром SB и плоскостью основания ABC, $\varphi$   — линейный угол двугранного угла SBCA.

Решение. Пусть точка O  — центр основания, точка M  — середина ребра BC. Тогда $\angle SBO = бета ,$ $\angle SMO = \varphi.$ Пусть SM  =  3x, значит:

$BM = SM умножить на тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BSC правая круглая скобка равносильно BM = 3x умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x,$ $BM = SM умножить на тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BSC правая круглая скобка равносильно$
$равносильно BM = 3x умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x,$

следовательно,

$BO = дробь: числитель: BM, знаменатель: косинус 30 градусов конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$

$OM = дробь: числитель: BO, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

По теореме Пифагора в треугольнике BMS:

$BS = корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс SM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 5x в квадрате плюс 9x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента x.$ $BS = корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс SM в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 5x в квадрате плюс 9x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента x.$

Найдем значение искомого выражения:

$дробь: числитель: 21 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: BO в квадрате , знаменатель: BS в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: OM в квадрате , знаменатель: SM в квадрате конец дроби конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: BO в квадрате умножить на SM в квадрате , знаменатель: BS в квадрате умножить на OM в квадрате конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате умножить на 9x в квадрате , знаменатель: 14x в квадрате умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: 60, знаменатель: дробь: числитель: 70, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: 180, знаменатель: 70 конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: 7 конец дроби = 3 умножить на 18 = 54.$ $дробь: числитель: 21 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: BO в квадрате , знаменатель: BS в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: OM в квадрате , знаменатель: SM в квадрате конец дроби конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: BO в квадрате умножить на SM в квадрате , знаменатель: BS в квадрате умножить на OM в квадрате конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате умножить на 9x в квадрате , знаменатель: 14x в квадрате умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: 60, знаменатель: дробь: числитель: 70, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: 180, знаменатель: 70 конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: 7 конец дроби = 3 умножить на 18 = 54.$ $дробь: числитель: 21 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: BO в квадрате , знаменатель: BS в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: OM в квадрате , знаменатель: SM в квадрате конец дроби конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: BO в квадрате умножить на SM в квадрате , знаменатель: BS в квадрате умножить на OM в квадрате конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате умножить на 9x в квадрате , знаменатель: 14x в квадрате умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: 60, знаменатель: дробь: числитель: 70, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = 21 умножить на дробь: числитель: 180, знаменатель: 70 конец дроби =$
$= 21 умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: 7 конец дроби = 3 умножить на 18 = 54.$

Ответ: 54.

Ответ: 54

2314

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 6

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2314	54